・線分の垂直二等分線をコンパスと定規だけで作図するには？ ・角の二等分線の作図は？ このような、中学生のころに学習した幾何学の内容から、 ・3点を通る円の作図 ・正5角形の作図 など、少し高度な内容まで、17種類の幾何学的な作図を、わかりやすいアニ…

反復法については複数のアプローチがあるけど、わかりやすくまとめたものがあまり無いなぁ、と思って検索していたら、 次の東工大の卒業論文が簡潔でわかりやすかった。■「無制約非線形最適化問題に対するアルゴリズムの比較」 http://www.is.titech.ac.jp/~…

【キーワード】Excel, 正規分布, 乱数, 正規乱数■目的 ダミーの実験データを作る場合などに、正規分布に従う乱数を得たいことがある。 ここでは、Excelを使って、そのような乱数を生成する方法を説明する。■RAND関数 Excelに備わっている乱数先生関数RANDを…

複利の力を知っておかなくてはいけない。 1年間に5%の金利が付くとしよう。この場合、「70の法則」のエントリでも紹介したように、14年で元金が2倍に増える。 これだけだとまだ実感がわかないかもしれないが、次の14年でまた倍に増えるのだから28年で4倍にな…

昨日のエントリ「70の法則、72の法則」の中で、xの値が十分小さいときに次の式が成り立つ、ということを書いた。なぜなのか疑問に思うかもしれないので、簡単に説明する。無限回微分可能な関数f(x)について、次式が成り立つ。これをf(x)のx=aでのテイラー展…

複利運用で、元金を倍にするのに必要な期間を次の簡単な式で求めることができる。金利（%）×年数＝70 (または72) それぞれ「70の法則」または「72の法則」と呼ぶ。 70と72という異なる値が使われるが、上記の式はあくまで概算なので、どちらも正確な値とは異…

■シグモイド関数の数式表現 シグモイド関数（標準形）は次の式で表される。 ■シグモイド関数の形 グラフは次のような形。 xの値が大きくなると値が1に近づく（分母が1に近づくので） xの値が小さくなると値が0に近づく（分母が∞に近づくので） xが0の時に値…

grad, div, rot については、山ほどの解説ページが存在するが、一言で言ってしまうと次のような感じ。・勾配 gradφ：スカラー場のある地点φでエネルギーが最も大きく変化する方向を示す。∇φで示せる。スカラー→ベクトル ・発散 divＡ：ベクトル場の、ある地…

京都大学理学部出身、数学教師・パフォーマーという経歴を持つ池田洋介氏オリジナルの数学用語辞典、 「役に立たない数学用語事典」がとても面白い。数学的な面白さと、パフォーマーとしてのユーモアが混在する、読み物としても楽しい用語辞典になっている。…

正規分布の簡単まとめ・英語で normal distribution ・ガウス分布（Gaussian distribution）と呼ぶこともある次の式で表される。 μ：平均 σ2：分散 簡単に N(μ, σ2) と表記する。正規分布の形は次のような感じ。 一番高いところが平均値。左右対称。 分散の…

・点（vertex） または 節点（node）図中の黒丸で示される点 ・辺（edge）図中の線 ・グラフ（graph）点と辺から成る図全体 ・次数（degree）点に接続する辺の数。例:点Pの次数は1。点Tの次数は3 ・多重辺（multiple edges）重複する辺。例:点Pと点Qを結ぶ辺…

最小二乗法 Least Squares Optimization についての備忘録。目的関数が「○○の二乗」の和で表されるような最適化問題を Least squares (LS) problem と言う。ユークリッド距離と密接な関係があって、簡単な方法で解くことができる。例えば（なんとか1）^2 + …

滑らかな曲線・曲面は美しい。 私たちの身のまわりの製品には、滑らかな曲面を持ったデザインが多い。 その最たるものは車のボディだろう。最新の車の多くは流れるように美しい曲面から構成されている。では、この「滑らか具合」はどのように評価したらいい…

無量大数という言葉は、数学の「無限」の概念と同じで、それ以上大きな数を持たないものと思っていたのだけど、そうでもないらしい。■ 無量大数（Wikipedia）Wikipediaでは、無量大数は10の68乗（または88乗）で、その10倍は「十無量大数」と呼ぶらしい。 つ…

NtRandというWebサイトでは、フリーのExcel アドイン"NtRand 3.1"が公開されている。これに含まれるExcel関数は次の通り。 ・17種の乱数生成関数 ・103種の確率分布関連関数 ・4種の多変量統計分析関数 これらが無料で使用できると言うだから驚きだが、私が…

社会人になって必要な数学と言うのは、微分でも積分でも線形代数でもなくて、確率と統計ではないだろうか。ということを最近とみに思う。Web上にはたくさんの情報があるが、関西学院高等部の丹羽時彦先生によってまとめられた「統計学」のページが充実してい…

球面を平面に射影する方法は数多くあるが、その中のひとつの「ステレオグラフ射影」には「球面上の円周を平面上の円周または直線に写す」というユニークな性質がある。このような性質を持つステレオグラフ射影を通して3次元の幾何形状を眺めると、2次元の興…

計算複雑性の話の中で、P、NP、NP完全、NP困難というキーワードが登場する。 それぞれの違いを、字面だけから判断するのは、少し無理そう。 それで、詳しい説明を Wikipedia に求めると・・・。・P（Wikipedai） ・NP（Wikipedai） ・NP完全（Wikipedai） ・…

トポロジーの絵本 新装版 (シュプリンガー数学リーディングス)作者: G.K.フランシス,笠原晧司,宮崎興二出版社/メーカー: シュプリンガー・フェアラーク東京発売日: 2005/12/01メディア: 単行本購入: 1人 クリック: 26回この商品を含むブログ (7件) を見る昨…

「球面の表と裏を反転させるにはどうすればいいか？」 という面白い問題がある。 つまり、ボールの内側が外側に、外側が内側になるようにひっくり返したい。ということ。 ボールはただのボールではなく、自分自身をすり抜けることができる。ただし、表面に「…

数式の表記は万国共通であるから、英語の文章を読む場合は、むしろ数式を含んだものの方が理解しやすい。 しかし、いざその数式を音読しようとすると、いったいどのように読むべきかわからずに困ることがある。例えば、次のような簡単な式も、英語でどう読む…

フラクタル図形の面白さを知るには、静止画よりも動画が断然優れている。どこまでズームしても、どこまでも同じ複雑さの図形が延々と続くさまは、見ていて不思議な感覚にとらわれる。http://youtube.com/watch?v=UuOTuFVnWv0http://youtube.com/watch?v=gEw8…

自己相似性をもつフラクタル図形は、どれだけズームしても果てしなく同じ形状が現れる不思議な図形。 フラクタル図形の代表例としてジュリア集合やコッホ曲線はあまりに有名だ。 フラクタルには、2次元の図形だけではなく、3次元の図形もある。例えば、「メ…

先日のエントリで記した内容に限らず、ネット上では「確率」の話についての激しいやりとりを見かけることがある。 純粋に数学的な話であって、一方は正しい解を述べているのに、どうしてもそれを認めないとする主張も多い。 このような議論を見ると、人間は…

Twitterでの竹中平蔵氏の次の発言がネット上で物議を醸している。 ３０年で大地震の確率は８７%・・浜岡停止の最大の理由だ。確率計算のプロセスは不明だが、あえて単純計算すると、この１年で起こる確率は２．９%、この一カ月の確率は０．２%だ。原発停止の…

物理学、統計、最適化などで、行列を微分する場面が出てくる。 解析学で学ぶ微分とは異なるが、実用上は行列表現用の公式を知っている（または見つけることができる）のであれば問題ない。 しかし、この行列の微分については、インターネット上でまとまった…

昨日のエントリで紹介した数学系マガジン「+plus magazine」に掲載されている記事の中から１つ、「Understanding uncertainty: Infinite monkey business」（不確実性の理解：無限のサルの仕事）というタイトルの内容を紹介しよう。これは、無限の数のサルが…

数学に関する興味深いトピックスを紹介している +plus magazine というWebサイトがある。 英語のサイトだが、読み物としてのコンテンツが充実していて、数学好きには楽しめる内容が多い。 イギリスの Millennium Mathematics Project というプロジェクトの一…

芝浦工業大学の横田壽先生のWebページがすごい。 膨大なボリュームの数学学習教材が公開されている。 「微分積分学入門」「線形代数学入門」「統計学入門」「確率と統計」「応用数学入門」「線形計画法入門」「フーリエスペクトル」「数値解析入門」「複素関…

大学受験までの数学は得意だったのに、大学の数学で道をはずしてしまって、さっぱり理解が追いつかなくなった。という方は意外に多いのではないだろうか。 特に理工系の学生は、大学数学の知識が他の科目にも必要とされることが多いため、数学で躓いてしまう…