大人になってからの再学習

代数学のお手軽用語集

代数学：「集合」と「集合の要素間に成り立つ演算」が成す構造についての学問

記号：

$\rightarrow$ 集合から集合への写像

$\mapsto$ 集合の元から集合の元への写像

集合の族：集合の集合のこと。「集合の集合」と書くと、パラドクスが生じるようなので、こういう表現をする。

ベキ集合：部分集合全体の成す集合。

Xのベキ集合を $2^X$ と表記する

直積集合：「2つの集合それぞれから1ずつ選んだ要素のペア」をすべて集めた集合

{a, b}×{X, Y} = {(a,X), (a,Y), (b,X), (b,Y)}

単射・全射・全単射：クラスの女子が、好きな男子にチョコレートをプレゼントする（ただし、女の子は1個ずつのチョコレートしかもっていない）という状況でたとえる。

単射：2つ以上のチョコをもらう男子はいない（1個ももらえない男子がいてもよい（女子の方が人数が少ない場合））。

全射：全員の男子がチョコをもらう（複数のチョコをもらう男子がいてもよい（女子の方が人数が多い場合））。

全単射：すべての男子が1つのチョコをもらう（男女1対1の対応が取れる）。逆写像が存在するための必要十分条件。

カーネル（核）：写像によって0に写される要素の集まり（上の例だと、チョコレートをゴミ箱に捨ててしまった女子の集まり）

イメージ（像）：写像によって写された先の要素の集まり（上の例だと、チョコレートをもらえた男子の集まり）

同値関係：次の3つの性質を満たすとき、「同じ」とみなす

反射性： $x\sim x$ （同じものは同じ）

対称性： $x\sim y$ なら $y\sim x$ （左右対称）

推移性： $x\sim y$ かつ $y\sim z$ なら $x\sim z$ （仲間の仲間は仲間）

同値類：ある集合の中で、「同じ」もの（同値関係が成り立つもの）だけを集めて作った部分集合

同じ都道府県に所属している人を「同じ」とみなす場合、各都道府県のこと

剰余類：同値類の中で、特に「割ったあまり」を同値関係に用いたもの

商集合：同値類全体の集合

同じ都道府県に所属している人を「同じ」とみなす場合、都道府県の集合のこと

代表系：同値類系の同値類（部分集合）を、その代表におきかえた集合

同じ都道府県に所属している人を「同じ」とみなす場合、各都道府県ごとに代表者を決めて、その代表者を集めた集合のこと

イデアル：環の特別な部分集合

例：整数に対する3の倍数（3の倍数同士の和・差はやっぱり3の倍数。環の任意の元を掛けてると3の倍数になる）

位相空間：集合に対して「開集合の集まり」を定めたもの

集合 $X=\{a,b,c\}$ に対して $\mathscr{O} \{ \{\}, \{a\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\}$ は位相を定める

密着位相：空集合と自分自身のみを含む位相。最も弱い位相。自明な位相。

$\mathscr{O}=\{\phi,X\}$

密着位相：すべての部分集合を開集合とする位相。最も強い位相。離散位相。

$\mathscr{O}=2^X$

ハウスドルフ空間：ことなる開集合のあいだにちゃんと隙間がある空間。たいていの位相空間はハウスドル空間。

ユークリッド変換：図形の平行移動・回転・反転だけを許す変換。形を変えない変換。

アフィン変換：図形の形を変える変換だけど、直線は直線のまま。平行な線分の長さの比を保つ。

f:id:Zellij:20211203072608p:plain

ホモトピー：かたちに穴があるかどうかを、ロープを放り投げてひっかかるかどうかで調べる理論。

ホモロジー：かたちに穴があるかどうかを、かたちの縁（輪郭）に注目して調べる理論。または不変量。（縁に縁なし）

単体（simplex）：2次元の場合は三角形。3次元の場合は四面体。縁と内部を含む。

単体複体：単体を交差などなく素直に並べてできたもの。

群・アーベル群・環・可換環・整域・体：次の図による分類

20121211230653

モノイド：「群」から、「逆元の存在」の条件をのぞいたもの

例：プログラム言語でのListとか

加群：上の表のアーベル群のこと。加法について可換な群。可換群ともいう。

群の準同形写像：掛け算をしてから写したものと、写してから掛け算したものが同じになる写像。全単射のときは同形写像。

$\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$

（圏論）

モノ：単射のこと。「 $m \circ g_1 = m \circ g_2$ なら $g_1 = g_2$ 」が成り立つなら $m$ は単射。このように、集合の元を見ることなく、射だけを見ることで、単射であると言える。

f:id:Zellij:20211207205945p:plain

下図のようにmが単射でない場合、 $m \circ g_1 = m \circ g_2$ であっても $g_1 = g_2$ とは言えない。

f:id:Zellij:20211207213332p:plain

エピ：全射のこと。「 $h_1 \circ e = h_2 \circ e$ なら $h_1 = h_2$ 」が成り立つなら $e$ は全射。このように、集合の元を見ることなく、射だけを見ることで、全射であると言える。

f:id:Zellij:20211207212253p:plain

下図のようにeが全射でない場合、 $h_1 \circ e = h_2 \circ e$ であっても $h_1 = h_2$ とは言えない。

f:id:Zellij:20211207213405p:plain

同形射：モノかつエピ（つまり全単射）な射

ファイバー積：下図に対して、次のような集合

$X \times _Z Y := \{(x,y,z)|f(x)=z=g(y)\}$

f:id:Zellij:20211205192408p:plain

引き戻し：下の可換図式の $X \times _Z Y$ と同型な集合

f:id:Zellij:20211205192810p:plain

普遍性：よくよく考えてみるとあたりまえの性質

局所的に小さな圏：一般的な圏

始対象：圏Cにおいて、すべての対象Xに対して、ちょうど1つずつの射I→Xが存在するような対象I （始対象の双対は終対象）

$hom_C(X, Y)$ ：圏Cにおける、対象XからYへの射の集まり

直積：下図左の関係をもつX,Yに対するP。Aに対して唯一の $\overline{f}$ が決まる。右図は、直積Pは属性X,Yの最小限の情報だけを持つ。という解釈。

f:id:Zellij:20211205072405p:plain

直和：直積の双対。余積ともいう。下図の関係をもつA,Bに対するS。Sに対して唯一のsが決まる。

f:id:Zellij:20211205175750p:plain

Hom関手：射の集まり（Hom）を集合の圏に写す関手。

例：Hom(A, -) と表記されるHom関手は、AからXへの射の集まりを、集合の圏Setの対象（Hom(A, X)）に写す。XからYへの射 f を Hom(A, X) → Hom(A, Y) へ写す。共変関手。

例：Hom(-, B) と表記されるHom関手は、XからBへの射の集まりを、集合の圏Setの対象（Hom(X, B)）に写す。XからYへの射 h を Hom(Y, B) → Hom(X, B) へ写す。反変関手。

忘却関手：群とかだったときにもっていた構造を忘れさせて、たんなる集合の圏に写す関手（忘却関手の双対は自由関手）

自然変換：関手から関手への射。下図のαがFからGへの自然変換。

f:id:Zellij:20211207220008p:plain

自然変換αは、射の族 $(F(A) \xrightarrow{\alpha_A} G(A)) _{A \in \mathscr{A}}$ であって、圏Aの各射 $A\xrightarrow{f}A'$ について、下図が可換になるもの。

f:id:Zellij:20211207215552p:plain

表現：「別の表現」と読み替えるといい

カリー化：複数の引数をもつ関数を、引数が1つだけの関数の組み合わせに置き換えること。