ベクトルの内積とは - 大人になってからの再学習

二つのベクトルa, bがあるとき

$\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \vdots \end{pmatrix} \hspace{10mm} \vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \vdots \end{pmatrix}$

ベクトルaとbの内積は次のように表される。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \cdots$

したがって
「ベクトルの内積って何？」
という質問に対しては
2つのベクトルの要素を順番にひろって、それらを掛け合わせたものを全部足したもの
と答えることができる。

ベクトルが2次元または3次元の場合、このようにして求めた値がたまたま次の値と一致する（θは2つのベクトルの成す角）。

$| \vec{a} | | \vec{b} | \cos \theta$

（このことを証明を紹介しているWebページはたくさんある。たとえばここ。）

このように、2つのベクトルの要素を順番にひろって、それらを掛け合わせたものを全部足したものが、
たまたま幾何学的な性質を表す「角度」に結び付けられるため、何かと便利に使える。

例えば、物体になされた仕事は「物体に加わる力のベクトルと、物体の移動を表すベクトルの内積」で表される。

上の図の例では、ベクトルFで示される力で、物体がベクトルdで示されるだけ移動した場合、物体になされた仕事はFとdの内積と等しい。
（ http://17calculus.com/calc11-dot-product.php ）

例えば、物体の表面の明るさ（単位面積あたりに届く光の量）は、物体の表面の法線ベクトルと、光源へのベクトルの内積に比例する。

http://www.rsch.tuis.ac.jp/~naka/naka/scola/member/chapter5_html/chapter5.html

このように、内積はいろいろな場面で使われるので、その文脈によって「内積とは・・」という説明の内容が異なる。
物理の話、測量の話、数学の話、統計の話、その他いろいろなところで「内積」が登場する。

そのため、異なる複数の場面で内積の説明を受けると
「そもそも内積ってなんだ！？」
と、混乱してしまうことになる。

もういちど繰り返すと、

内積とは2つのベクトルの要素を順番にひろって、それらを掛け合わせたものを全部足したもの。

であって、それ以上でもそれ以下でもない。

2次元、3次元では、たまたま次の関係が成り立つ。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos \theta$

このことは高校で習う。

ところで、ベクトルが4次元、5次元、さらにそれ以上になったら、そもそも「成す角」とは何であろうか？
実は、2次元、3次元の幾何に倣って、4次元以上のベクトルの成す角は次のように定義される。
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{| \vec{a} | | \vec{b} |}$