フーリエ級数展開の式を理解する(2) - 大人になってからの再学習

$\large f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

そして、この式は次のようなことを言っていることを確認した。

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関数 f(x) は、様々なcos波とsin波の足し合わせで表現できる。
どれくらいの割合で各周波数のcos波とsin波を足し合わせるかは、数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ で指定する
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この数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ は、フーリエ係数と呼ばれ、次の公式で与えられる。

$\large \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x) \cos nx \:\: dx\\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x) \sin nx \:\: dx$

2ついっぺんに扱うのは大変なので、まずは上の $a_n$ に関する式だけ見てみよう。

式を素直に読めば、
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数列 $\{a_n\}$ のn番目の項は、関数f(x)とcos(nx)を掛け合わせたものを、0から2 $\pi$ の範囲で積分して、その値を $\pi$ で割ることで求まる
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ということになる。

どうして、このような形をしているのだろうか。
順番に見てみよう。

そもそも、 $a_n$ とは、cos(nx)で表されるcos波が関数f(x)にどの程度含まれるかを表す値であった。

つまり、最初の式は次のように読み直すことができる。

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cos(nx)が関数f(x)にどの程度含まれるかは、「関数f(x)とcos(nx)を掛け合わせたものを、0から2 $\pi$ の範囲で積分して、その値を $\pi$ で割る」ことで求まる
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さて、少し話が変わるけど、
実は、関数と関数を掛け合わせることで「この2つの関数が、どれだけ似ているか」を表すことができる。

例えば、関数Aと関数Bを掛け合わせた値が大きければ、関数Aと関数Bは似ている。
関数Aと関数Bを掛け合わせた値が小さければ、関数Aと関数Bはあまり似ていない。
関数Aと関数Bを掛け合わせた値がゼロであれば、関数Aと関数Bはまったく無関係（直交していると言う）。
関数Aと関数Bを掛け合わせた値がマイナスになるのであれば、関数Aと関数Bは正反対の関係にある。
（プラスとプラスを掛ければ、プラス。マイナスとマイナスを掛けてもプラス（つまり、似ている者同士を掛け算するとプラスの値）。でも、プラスとマイナスを掛けるとマイナス（似ていない者同士を掛け算するとマイナスの値）という説明でイメージできる）

つまり、関数f(x)とcos(nx)を掛け合わせることで、関数f(x)とcos(nx)がどれだけ似ているかを知ることができる。
これはまさに、 $a_n$ が意味する「cos(nx)で表されるcos波が関数f(x)にどの程度含まれるか」を表す指標として使用できそうだ。

今まで書いてこなかったけれど、今回は2 $\pi$ の周期を持つ関数を対象とするので、この関数f(x)とcos(nx)の掛け算を0から2 $\pi$ の範囲で積分して「似ている程度」を調べることになる。

これが、冒頭の式の右辺の一部

$\large \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos nx \:\: dx$

が言っていることである。

少し話がずれるけど、このように2つの関数を掛け合わせて積分を取る操作を、関数の内積と言う。
ベクトルの内積を関数まで拡張したものだと思えばいい。
ベクトルの内積については、以前に書いたエントリがここにある。
■ ベクトルの内積とは：大人になってからの再学習
ベクトルの内積も、2つのベクトルがどれくらい似ているかを表すものであった。

さて、 $a_n$ の積分部分が、「関数f(x)とcos(nx)がどれだけ似ているか」を表すものであることはわかったけれど、その頭部分についている
$\large \frac{1}{\pi}$
は何を意味するのだろうか。

これは「関数f(x)とcos(nx)が、あまりに似すぎて、まったく一緒だったとき」に、整合性を取るために必要な調整だと思えばいい。

仮に、関数f(x)がcos(nx)と一致する場合、その内積は次のように $\pi$ になる。

$\large \\ \int^{2\pi}_0 f(x) \cos nx \:dx \\ = \int^{2\pi}_0 \cos^2 nx \:dx \\ = \int^{2\pi}_0 \frac{\cos 2nx+1}{2} \:dx \\ = \frac{1}{2}\biggl[\frac{\sin 2nx}{2n}+x\biggr]_0^{2\pi}\\ \\ = \pi$

フーリエ級数展開の公式は次のように表すことができた。

$\large \\ f(x)=\frac{a_0}{2} + a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + a_3 \cos 3x + \cdots \\ \:\:\:\: + b_1 \sin x + b_2 \sin 2x + b_3 \sin 3x + \cdots\\$

ここで例えば、「関数f(x)がcos(2x)が、まったく一緒だったとき」、 $a_2$ の値は1になって欲しい。
そこで、
$\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos 2x \:\: dx\\ =\int_{0}^{2\pi}\cos^2 2x \:\: dx =\pi$
に
$\large \frac{1}{\pi}$
を掛けることで、ちょうど $a_2$ の値は1になる。