ヒルベルト空間

ヒルベルト空間とは何だろう?
数学の用語として正確に理解しようとすると、なかなか難しい。

とりあえず wikipedia を見てみると、情報が多すぎてわからない。

ヒルベルト空間(Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93

わかりやすく説明したWebページは無いだろうかと探してみると、やはり頼りになるのは「EMANの物理学」のページ。
ヒルベルト空間について、次のページで解説している。
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/hilbert.html

末尾付近に、次のような一文がある。

結局、ぶっちゃけて言えば、 「取り敢えずの計算に困らないベクトル空間」 というくらいの意味だったということだ。

http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/hilbert.html

ちょっとぶっちゃけすぎだけど、まぁ、そういうことのようだ。
「ベクトル空間」に置き換えて読んでも、物理学の分野ではあまり困らない。


他にも物理学で参考になる「物理のかぎしっぽ」のサイトでも、簡潔に言うと次のような説明のされ方をしている。

ヒルベルト空間とは内積を定義したベクトル空間

http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/InnerdotSpace/


ところで、WolframAlphaで検索してみたら、次のような説明があった。

A vector space that has a complete inner product. Hilbert spaces are important in the study of infinite-dimensional vector spaces.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Hilbert+space

これは「物理のかぎしっぽ」同様、「内積を定義したベクトル空間」ということだ。シンプルで明快。


ちなみに、内積が計算できるということは、自分自身との内積平方根から距離(ノルム)を定義でき、角度も扱えるということで、一般的な幾何学の概念を扱える。ということに他ならない。



ヒルベルト――現代数学の巨峰 (岩波現代文庫)幾何学基礎論 (ちくま学芸文庫)数学をいかに使うか (ちくま学芸文庫)