クラス定義によるテンソルの理解

理工系の大学で学習する電磁気学や材料力学の最初に登場する「テンソル」。
これまでに出てこない概念なので、どのようなものかイメージするのが難しい。
検索すれば、いくらでも説明が出てくるが、それでも漠然とした感じが残るかもしれない。
テンソルとは何ものか？ というものをイメージできないと最初でつまづくことになる。

ここでは、「プログラミングはわかる。」という人向けに、新しい方法で説明をしてみる:-)

テンソルとは変数の型である。

空間を格子状に細かく分割したモデルがあった場合、各格子要素（Cell）に、
質量、電荷、温度、位置、加速度、速度、力、応力、ひずみという、物理的な性質を表す値を設定する必要がある。

ここで教科書に書いてあるものを、そのまま受け入れるとして、質量、電荷、温度はスカラーであり、位置、加速度、速度、力はベクトル、応力、ひずみはテンソルであるから、次のようなクラスが定義できる。

class Cell {
	Scalar 質量;
	Scalar 電荷;
	Scalar 温度;
	Vector 位置;
	Vector 加速度;
	Vector 速度;
	Vector 力;
	Tensor 応力;
	Tensor ひずみ;
}

さて3次元空間におけるScalar、Vector、Tensorの実態は、それぞれスカラーは1つの数値、ベクトルは3つの数値（配列）、テンソルは3x3の数値（行列=2次元配列）で表現できるので次のように定義できる。

class Cell {
	double 質量;
	double 電荷;
	double 温度;
	double 位置[3];
	double 加速度[3];
	double 速度[3];
	double 力[3];
	double 応力[3][3];
	double ひずみ[3][3];
}

何のことはない、配列で表現できるものがベクトル、2次元配列で表現できるものがテンソルである。
配列の次数を見れば、スカラーが0階のテンソル、ベクトルが1階のテンソルと呼ばれる理由もわかるし、3階のテンソルと言われれば、double[3][3][3]の型で表現される変数である、ということもイメージできるだろう。