アインシュタインの縮約表記 - 大人になってからの再学習

2つの2次元ベクトル
$\vec{A}=(A_1, A_2)$
$\vec{B}=(B_1, B_2)$
があるとき、この2つのベクトルの内積は次のように表される。

$\vec{A} \cdot \vec{B}=A_1 B_1 + A_2 B_2$

ベクトルが3次元で
$\vec{A}=(A_1, A_2, A_3)$
$\vec{B}=(B_1, B_2, B_3)$
であるときは、この2つのベクトルの内積は次のように表される。

$\vec{A} \cdot \vec{B}=A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3$

書くのがめんどくさいね。
こんなの、毎回毎回書いていられないね。

和を表すΣの記号を使えば、次のように表すことができる。

$\vec{A}\cdot\vec{B}=\sum_{i=1}^{3} A_i B_i$

少しは短くなった。でも、やっぱりΣ記号はめんどうだ。
毎回毎回、こんなの書いていられないね。

もう、こういう頻出する表現は、次のような簡単な表記方法にしちゃおうよ。

$\vec{A}\cdot\vec{B}=A_i B_i$

これでいいじゃん。
と言い出したのが、あの相対性理論を考え出したアインシュタイン。

なるほど、少しでも表記を簡単にして、より簡潔に物事の本質に迫ろうとしたわけだ。

これを「アインシュタインの縮約表記」と言う。
「添字が同じ場合は、その添字について和を取る」というルールになっている。

例えば

$A_i B_i = A_1 B_1 + A_2 B_2 + \cdots + A_n B_n$

nの値がいくつになるかは、そのときの文脈から判断する。
今は3次元の話をしているんだから、いちいちn=3なんて断らないよ。めんどうだから。
という感じ。

$a^{\mu}b_{\mu} = a^1 b_1 + a^2 b_2 + \cdots + a^n b_n$

のように書き表すこともある。

内積を表すには、アインシュタインの縮約表記で事足りるけど、外積を表したりするにはちょっと足りない。

以下のページは、アインシュタインの縮約表記と上記の記号についても、とてもわかりやすく説明している。
・電磁気学講義ノート：マクスウェル方程式のためのベクトル解析　（１）内積・外積の計算を簡素化 - 主に言語とシステム開発に関して

無名の役人はいかにしてノーベル賞科学者となったのか。アインシュタインについて知ることができる「アインシュタイン丸かじり」は、Amazonでの評価が極めて高い。

「重力とは何かアインシュタインから超弦理論へ、宇宙の謎に迫る」。これは面白い。読みやすくワクワクする展開。おすすめ。