無限大の基本的な考え方 - 大人になってからの再学習

日常では際限なく大きな数を表すのに「無限大」という言葉を使うけれど、数学の世界で登場する「無限大」は少し趣が違う。

え！？どうして？と思うような不思議なことが多いので、簡単な事柄だけまとめてみる。

まず、自然数 1,2,3,... の数について考える。

自然数は際限なく大きくできるので、自然数の数は無限大である。
でも、単に無限大と呼ぶのは正確で無い。

自然数に含まれる数は、1番目、2番目、・・・、と順番に番号付けすることができるので
可付番無限（countable infinity）と呼ばれる。

さて、大切な点として、
この自然数と1対1の対応付けができる集合の数は、やはり可付番無限（countable infinity）と呼ばれ、
記号 $\aleph_0$ （アレフゼロ）で表される。

では、自然数の中で、偶数の数はいくつあるだろうか。
偶数 2n は、自然数 n に1対1の対応付けをすることができるので（すべての自然数nに対応するものが「偶数の集合」の中に1つ存在するので）、

「偶数」の数もやはり $\aleph_0$ である。

偶数は、自然数の半分しかないのでは！？と疑問に思うのは当然だけど、可付番無限の定義からすると、自然数と偶数の数は、どちらも $\aleph_0$ という記号で表すことができることになる。

となれば、当然のことながら

「3の倍数」の数も $\aleph_0$ である。

任意の自然数kをとってきて、「kの倍数」の数も $\aleph_0$ である。

つまり、自然数i, j の対(i, j)全体がなす集合の数も $\aleph_0$ である。

自然数にゼロと負の整数を加えた、整数全体がなす集合の数も $\aleph_0$ である。

分子と分母が整数で表される分数は、有理数と呼ばれる。
有理数全体がなす集合も、所詮は整数の組み合わせの数を上回らない。
従って、有理数全体がなす集合の数も $\aleph_0$ である。

一方で、実数全体の要素数は自然数と1対1の対応付けができないくらい多い（この証明には対角線論法という方法が用いられる。）
そのため、実数全体の要素数を表す無限大は $\aleph$ （アレフ）で表される。

$\aleph_0 < \aleph$ である。