レイリー商（Rayleigh 商） - 大人になってからの再学習

レイリー商とは、2 次形式の最大値, 最小値を求めるのに便利な道具。例えば

「 $x^2+y^2=1$ という条件のもとで $f(x,y)=3x^2+4xy+5y^2$ の最大値、最小値を求めよ」

というような問題がすぐに解ける。

2次形式というのは、
$3x^2+4xy+5y^2$ のように、次数が2の多項式で表される式の形。

これは、うまく変形すると
$^t {\bf xAx}$
の形にすることができる。

としたとき、f(x)のレイリー商は、次の式で示される。

このレイリー商の最小値と最大値は、行列Aの最小、最大固有値λmin、λmaxと一致して、
そのときの x は、λmin、λmax に対応する固有ベクトルであることが知られている。

次のPDFファイルでは、具体的な問題の例や、もう少し丁寧な解説が紹介されている。
「Rayleigh 商と,2 次形式の最大値, 最小値（Presented by Minami）」
http://deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf