双曲幾何学のタイリング

ユークリッド幾何学は平面上の幾何学で、曲率がゼロの幾何学とも言われる。無限に広がる平面空間を扱う。
一方で、曲率が負の空間を扱う「双曲幾何学」という分野もある。この世界では、三角形の内角の和は180度より小さくなる。
有限の大きさの図で無限の大きさの空間を扱うことができる。

こんな不思議な幾何学を芸術作品に取り入れたのが、マウリッツ・エッシャー
円の極限をモチーフにした作品が様々に作られている。

これは、双曲幾何学における三角形のタイリングを活用したもの(厳密には上の図と下の図は対応していない)。


英語版Wikipediaには、このような双曲幾何学の世界でのタイリングパターンの、さまざまなバリエーションが紹介されている。

■ Uniform tilings in hyperbolic plane (Wikipedia)
http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_tilings_in_hyperbolic_plane


次のPDFでは、このような図形を生成する具体的なアルゴリズムが紹介されている。

■ An Algorithm to Generate Repeating Hyperbolic Patterns (Douglas Dunham)
http://www.d.umn.edu/~ddunham/isam07tlk.pdf

双曲幾何学への招待―複素数で視る

双曲幾何学への招待―複素数で視る

Escher Graphic Work

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