ガウス積分とガウス分布

次のxの式はガウス関数と呼ばれる。

この式は確率・統計、物理のさまざまなところに登場する。

自然対数eの右肩にごちゃごちゃ書くと見にくいので、次のような表記をすることも多い。

どちらも同じで、このような式を見たら、まずは下のような釣鐘型の曲線を、パッと頭にイメージできるようにすることが最初の一歩。

Googleに「e^(-x^2)」と入れて検索すれば、上のようなグラフが出てくる。

この曲線は、正規分布の確率密度関数の形をしている（正規分布は「ガウス分布」とも呼ばれる）。

不思議なことに、この関数の値を-∞から+∞まで積分すると、ちょうどとなる。

すごいね。

これを確率密度関数として扱うには、積分した値がちょうど1になって欲しい。
なので、元の関数にを掛けてあげれば次のようになる。

こんどは、exp表記を使った。

標準正規分布(分散を表すσ^2の値が1である正規分布)のとき、この式のの部分がで表されるから、分母にを掛ける必要があって（置換積分の考え方）次のようになる。

そんなわけで、標準正規分布と呼ばれるものの確率密度関数は、次のように分母にが含まれることになる。

このようなガウス分布の形がどのくらい大事かというと、ドイツの紙幣のデザインに使われたことがあるくらい大事。

数学者たちはなにを考えてきたか

意味がわかれば数学の風景が見えてくる