ド・モアブルの公式とオイラーの公式 - 大人になってからの再学習

■キーワード：複素関数、極形式、ド・モアブルの公式、オイラーの公式、三角関数、倍角の公式、3倍角の公式、加算公式

大学数学で学習する複素関数の極形式表現では、次の「ド・モアブルの公式」が登場する。

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$

とてもシンプルな形なので覚えるのが簡単で、なおかつとても便利な公式だ。
ひとつの活用方法として、これさえ知っていれば高校数学の範囲で苦労して暗記した、三角関数の倍角の公式、3倍角の公式などが簡単に導けてしまう。

試しに、倍角の公式を導いてみる。

ド・モアブルの公式にn=2を代入した左辺は

$(\cos \theta + i \sin \theta)^2 = \cos ^2\theta - \sin ^2\theta + 2i\sin \theta \cos \theta$

右辺は

$\cos 2 \theta + i \sin 2 \theta$

となる。左辺と右辺では、実部と虚部がそれぞれ等しいことから、次の倍角の公式がただちに導ける。

$\cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

続いて3倍角の公式を導いてみる。

先ほどと同様に、ド・モアブルの公式にn=3を代入して、左辺は

$(\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos ^3\theta + 3i \sin \theta \cos ^2 \theta -3 \sin^2\theta\cos\theta-i\sin^3\theta$

右辺は

$\cos 3 \theta + i \sin 3 \theta$

となる。左辺と右辺では、実部と虚部がそれぞれ等しいことから、次の3倍角の公式が成り立つ。

$\cos 3 \theta = \cos^3 \theta -3 \sin^2 \theta\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3(1-\cos^2\theta)\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta\\ =4\cos^3\theta-3\cos\theta$

$\sin 3 \theta =3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta(1-\sin^2\theta)-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta-4\sin^3\theta\\$

次の「オイラーの公式」を使えば、三角関数の加算公式も容易に導ける。

$e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$

オイラーの公式で

$\theta=\alpha+\beta$

とおけば

$e^{i(\alpha+\beta)} = \cos(\alpha+\beta)+i\sin\(\alpha+\beta)$

また次のようにも変形できる。

$e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha}e^{i\beta}=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\\= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)$