ガウス写像(Gauss Map)

ガウス写像とは、曲面上の点を単位球の表面のある点に対応付ける写像のこと。
具体的には、曲面上の点における単位法線ベクトルの始点を原点に移動したとき、その単位法線ベクトルの終点の位置に対応付けられる。

と、言葉で説明しても分かりにくいけど、下の図を見れば簡単にイメージできる。

この右側の球体のことをガウス球と呼ぶ。

この方法によって、曲面上のある領域が、球面上の領域に投影される。

ある点での最大曲率と最小曲率の積ガウス曲率であると定義されるけど、
一方で、図形的には、曲面上の領域がゼロに近づくときの、[ガウス球上の写像の面積(符号付)]/[元の曲面上の面積]としても定義される。
(面積は、領域の周の向きによって符号が付くので、当然、ガウス曲率が負になることもある)

下図のように、平面はどの場所でも法線ベクトルが同じなので、ガウス球上の点に写される。写像後の面積はゼロなので、ガウス曲率はゼロだ。

下図のように、柱面(可展面)は、ガウス球上の曲線に写される。
曲線の面積もゼロであるから、可展面のガウス曲率はゼロであると視覚的に確認できる。

ちなみに、半径Rの球面のガウス曲率は\frac{1}{R^2}で表されることも、同じように図的に理解できる。

参考:
・曲面論におけるGauss 写像の役割
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~furuhata/workshop/SapporoFukuoka09/kokubu1.pdf

ガウス幾何
http://www.cg.info.hiroshima-cu.ac.jp/~miyazaki/.../study/gauss.ppt

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