微分の記法 - 大人になってからの再学習

いろいろな文献を見ると、微分ひとつとっても表記方法にさまざまな流儀があることに気付く。例えば、数学と物理の分野では、その歴史的背景から大きく異なる。

理解できない難しい式だと思っても、実は表記方法が違っているだけの場合も多い。
意外と、このような表記方法の違いや、きちんとした説明は大学でおろそかにされているケースが多いような気がする。
一度、まとめて確認するといい。

以下、Wikipedia ：微分の記法より抜粋。

■ ライプニッツ記法

yをxで微分する場合。

$\frac{dy}{dx}$

$x=a$ のときの値を表す場合。

$\left.\frac{dy}{dx}\right| _{x=a}$ または $\frac{dy}{dx}(a)$

$y=f(x)$ のとき。

$\frac{d(f(x))}{dx}$ または $\frac{d}{dx}(f(x))$

n階の微分については、右肩にnをつける。

$\frac{d^n y}{dx^n}$ または $\frac{d^n(f(x))}{dx^n}$ または $\frac{d^n}{dx^n}(f(x))$

■ ラグランジュ記法

関数 $f(x)$ の微分。

$f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x), ... , f^{(n)}(x), ...$

■ オイラー記法
微分演算子Dを関数の前に付ける。
1階微分： $Df$
2階微分： $D^2f$
n階微分： $D^n f$

yをxについて微分する場合は次のように表記する。
1階微分： $D_x y$
2階微分： $D^2_x y$
n階微分： $D^n_x y$

■ ニュートン記法（ドット記法）
時間微分の表現法として、上部にドット「・」を付ける。一般的に2階微分まで。

$\dot{x} = \frac{dx}{dt}$

$\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}$

■ ベクトル解析による記法

微分演算子としてナブラ記号
$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$
を定義し、この演算子を用いる。

スカラー場 $\phi$ の勾配
${\rm grad} \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right) = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \phi = \nabla \phi$

スカラー場 $\phi$ のラプラシアン
$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) \phi = \nabla ^2 \phi$