コンパクト性、開被覆

■キーワード：集合、位相、コンパクト、被覆、開被覆

集合、位相の学習で「コンパクト」というキーワードが登場する。

「位相空間の部分集合について、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことをコンパクトと言う。」

こういわれても、すぐにはピンとこないので、「コンパクトな集合」≒「有界な閉集合」と文字通り覚えるのがてっとり早い。とりあえず、そうやって飲み込んでしまうというのも一つの方法。

頑張って図を使って説明すると次のような感じ。

■まずは開被覆の説明。

位相空間Xの部分集合Aと、Oλ。

Oλを集めると次のようになる。

これがAを覆うとき、{Oλ|λ∈J} をAの「被覆」という。

Oλが「開集合」であるとき、「開被覆」という。

■続いてコンパクトの説明。

開被覆は無数にある。

このなかのどれを選んでも、有限個のOλを選んで被覆できる。

このとき、AはXの「コンパクト集合」である。