曲率 - 大人になってからの再学習

平面上の曲線がどのくらい曲がっているかを表す値として「曲率」がある。

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曲率とは、「曲線のある部分を円弧で近似した時に、その円の半径rの逆数(1/r)」で表される。

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そうは言っても、曲線がパラメトリック曲線で与えられたときに、任意の点の近傍を円弧で表現するのは簡単でない。
そもそもの曲率の定義である、接線の方向角度の微分で記述すると、次のようになる。

パラメータtにおける接線の方向角度 $\phi(t)$ を
$\phi(t)=\tan^{-1}(\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)})$
とすると、曲率 $\kappa(t)$ は
$\kappa(t)=\frac{d\phi(t)}{dt}$
で表される。

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曲線の2階微分を用いて、次のように表すこともできる。
$\kappa(t)=\frac{\dot{x}(t)\ddot{y}(t)-\dot{y}(t)\ddot{x}(t)}{(\dot{x}(t)^2+\dot{y}(t)^2)^{3/2}}$

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数式で微分するのが手間のときは、差分法で近似的に求めることもできる。

1階微分： $\frac{f_{i+1}-f_i}{dt}$

2階微分： $\frac{f_{i+1}-2f_i+f_{i-1}}{dt^2}$