曲率

平面上の曲線がどのくらい曲がっているかを表す値として「曲率」がある。


曲率とは、「曲線のある部分を円弧で近似した時に、その円の半径rの逆数(1/r)」で表される。


そうは言っても、曲線がパラメトリック曲線で与えられたときに、任意の点の近傍を円弧で表現するのは簡単でない。
そもそもの曲率の定義である、接線の方向角度の微分で記述すると、次のようになる。

パラメータtにおける接線の方向角度\phi(t)
\phi(t)=\tan^{-1}(\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)})
とすると、曲率\kappa(t)
\kappa(t)=\frac{d\phi(t)}{dt}
で表される。


曲線の2階微分を用いて、次のように表すこともできる。
\kappa(t)=\frac{\dot{x}(t)\ddot{y}(t)-\dot{y}(t)\ddot{x}(t)}{(\dot{x}(t)^2+\dot{y}(t)^2)^{3/2}}


数式で微分するのが手間のときは、差分法で近似的に求めることもできる。

1階微分\frac{f_{i+1}-f_i}{dt}

2階微分\frac{f_{i+1}-2f_i+f_{i-1}}{dt^2}


参考:
http://www.eto.titech.ac.jp/contents/sub01/chapter04.html


曲線の事典 ―性質・歴史・作図法―曲線と曲面の微分幾何じっくり学ぶ曲線と曲面―微分幾何学初歩

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