数学

ガウス積分とガウス分布

次のxの式はガウス関数と呼ばれる。 この式は確率・統計、物理のさまざまなところに登場する。自然対数eの右肩にごちゃごちゃ書くと見にくいので、次のような表記をすることも多い。 どちらも同じで、このような式を見たら、まずは下のような釣鐘型の曲線を…

写像と重積分とヤコビアン

大学に入ってから複数の変数で積分を行う重積分というものを学習する。重積分を解く際に、変数変換を行った方が簡単な場合があり、そのときに次のような公式が出てくる。 ( (x, y) の式を (u, v) の式に変換した場合) さて、この J(u, v) はなんだろう?積…

CodeCogsの数式エディタ

数式を扱う時には、やっぱり美しいものにしたい。 数式の内容では無くて、見映えのはなし。見た目の美しさを考えれば、やっぱりLaTeXが一番。 最近のWordでも、それなりに見映えの良い数式を作れるようになったけど(以前はひどかった)、それでもやっぱりLa…

ド・モアブルの公式とオイラーの公式

■キーワード:複素関数、極形式、ド・モアブルの公式、オイラーの公式、三角関数、倍角の公式、3倍角の公式、加算公式大学数学で学習する複素関数の極形式表現では、次の「ド・モアブルの公式」が登場する。とてもシンプルな形なので覚えるのが簡単で、なお…

塵劫記(じんこうき)の布盗人算(きぬぬすびとざん)

塵劫記(じんこうき)という江戸時代の算数書に記されている次のような問題を布盗人算(きぬぬすびとざん)と呼ぶらしい。 盗賊団の会話が橋の下から聞こえる。盗んできた反物(たんもの)を分配しようとしているようだ。 「7反ずつ分けると8反余るし、8反ず…

微分方程式の図解

次のWebページが話題になっている。■ 微分方程式を図解する (前野[いろもの物理学者]昌弘) http://irobutsu.a.la9.jp/mybook/ykwkrMC/sim/DE.html 「一階常微分方程式」(dxと dyの関係が与えられた時、xと y の関係を求める方程式)の様子が わかりやす…

群・環・体

小学校から学んできた足し算、掛け算などのような、数と演算の世界を代数系と呼ぶ。 群、環、体の理論は、この代数系の性質を調べるための理論。例えば、整数の加減乗除について、改めてこれはどのような代数系なのだろうか、ということを考える。 でも、整…

4次元の立方体の理解

「4次元の・・」という言葉を見ただけで、ああ、もう理解できるわけがない、と拒絶反応を起こすのが普通かもしれない。 でも、そんなに難しく考える必要はない。0次元の点、1次元の線、2次元の平面、3次元の立体、と1つずつ次元を上げて行って、もう一つ次元…

ネイピア数

次の記事がとても面白い。■ クレオパトラの最後の吐息の一部を今あなたが吸い込む確率に驚くべき | 読書猿Classic: between / beyond readers http://readingmonkey.blog45.fc2.com/blog-entry-632.html読書猿氏のエントリは、1つ1つがとても丁寧に書かれて…

変分法

変分法とは、値を最小とする最適な関数を求める方法。通常の最適化問題は、 の値を最小とするxの値は?のように、値を最小とする最適な変数を求めるけど、変分法では最適な関数(式の形)を求めることが目的になる。 例としてよく挙げられる問題に 適当な2点…

極座標とラプラシアン

ラプラシアンとは直交座標系における2階の微分作用素で、3次元では次のように表される。 これを3次元の極座標で表すと次のようになる。 この導出については、ネット上でさまざまに紹介されているが(例:Laplacian と極座標(PDF))、その手順は煩雑で、自分…

ベクトルの微分

ベクトル を変数とする関数 について、fのでの微分は次のように定義される。 ベクトルの微分について、以下が成り立つ。 (Aをn×n行列、Bをm×n行列、aをn×1ベクトルとする)(1) (2) (3) (3)番目の式は、Aが対称行列の場合は次のようになる。 (3') 参考:統計…

放射基底関数(Radial basis function, RBF)

放射基底関数、英語でRadial basis function、略してRBFは、言葉として見ると難しそうだけど、 実際は何のことはない「距離に基づいて値が決まる関数」のこと。変数xの原点からの距離を||x||で表せば、次のようになる。 φ(x)=φ(||x||)代表的なのがガウス関数…

2次形式・二次形式

のように、次数が2の多項式で表される式の形を2次形式と呼ぶ。この形で表される多項式は、ベクトルと行列の演算を使って の形で表すことができる。ここで、 である。実際に であることを簡単な計算で確認できる。一般化して とすれば、 である。たとえば の…

ガウス写像(Gauss Map)

ガウス写像とは、曲面上の点を単位球の表面のある点に対応付ける写像のこと。 具体的には、曲面上の点における単位法線ベクトルの始点を原点に移動したとき、その単位法線ベクトルの終点の位置に対応付けられる。と、言葉で説明しても分かりにくいけど、下の…

線織面と可展面

■ 可展面について歪みなく平面に展開できる曲面を可展面と言う。 紙を曲げて作ることができる曲面が可展面である。と言うこともできる。可展面には、柱面、錐面、接線曲面という3種類の曲面がある。平面も可展面の1つである。可展面は、線織面(ruled surfac…

等角写像

まずは2次元に限っての話。 写像によって、ある図形が他の図形に写される。 このときに、元の図形に含まれる2つの直線の成す角度が、写された後でも変化しない写像を等角写像(conformal transformation, conformal map, angle-preserving transformation)と…

数え上げの話

このブログでも紹介した動画「『フカシギの数え方』 おねえさんといっしょ! みんなで数えてみよう!」がネット上で、大きな話題になっている。 おねえさんが、ひたすら場合の数を数え続ける様子は、現実ではありえないながら、なぜかついつい見入ってしまう…

数列の百科事典 OEIS

昨日のエントリで、「Self-Avoiding Walk」として知られる問題の解が、 2, 12, 184, 8512, 1262816, 575780564, ... という数の並びになること、そして現在では n=19 までの解が知られていることを紹介した。そういう情報はどうやって調べるの? Web上には T…

組み合わせ爆発のはなし

YouTube 上に公開された 「『フカシギの数え方』 おねえさんといっしょ! みんなで数えてみよう!」 という動画が話題になっている。http://youtube.com/watch?v=Q4gTV4r0zRs下の図のようなNxNの格子を用意して、左上のスタート地点から、右下のゴール地点に…

Centroidal Voronoi tessellation (重心ボロノイ分割)

Centroidal Voronoi tessellation (重心ボロノイ分割) とは、分割後の領域の重心と母点が一致するボロノイ分割のこと。そもそもボロノイ分割ってなんだっけ?ボロノイ分割とは、ある領域(例えば2次元平面上の四角形)を、複数の領域に分割する方法の1つ。 …

無限大の基本的な考え方

日常では際限なく大きな数を表すのに「無限大」という言葉を使うけれど、数学の世界で登場する「無限大」は少し趣が違う。え!? どうして? と思うような不思議なことが多いので、簡単な事柄だけまとめてみる。まず、自然数 1,2,3,... の数について考える。…

パラメトリック曲面の例

曲面の図が綺麗なページを見つけた。■ Parametrische Flächen und Körper http://www.3d-meier.de/tut3/Seite0.htmlドイツ語のサイトだけど、Webページの翻訳サービスを使ってもいいし(Google Chromeなら勝手に翻訳してくれる)、図だけ見ていても十分楽し…

数学で用いられる基本的な記号

前回のエントリと同様に、次の書籍より。これだけは知っておきたい数学ビギナーズマニュアル作者: 佐藤文広出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 1994/06メディア: 単行本購入: 4人 クリック: 21回この商品を含むブログ (16件) を見る N 自然数の集合 Z 整数…

数理論理学に出てくる用語のまとめ

参考:これだけは知っておきたい数学ビギナーズマニュアル作者: 佐藤文広出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 1994/06メディア: 単行本購入: 4人 クリック: 21回この商品を含むブログ (16件) を見る ■公理:Axiom 理論の土台となる約束事。前提事項。 (証明…

焼きなまし法

最適化問題を解くための探索アルゴリズムの1つに焼きなまし法というものがある。最急降下法のように、値が小さくなる方向に少しずつ探索を進めていくアルゴリズムでは、その出発点に依存して局所最適解に陥ることが多い。 その結果として、大域的最適解が求…

エピポーラ幾何

エピポーラ幾何とは、2つのカメラで3次元空間を撮影する、ステレオビジョンに関する幾何のこと。2つの異なる位置から見た画像から、3次元の奥行き情報を復元したり、画像間の対応を求めたりするのに役立つ幾何。英語版Wikipediaにある、下の図を用いて説明す…

微分の記法

いろいろな文献を見ると、微分ひとつとっても表記方法にさまざまな流儀があることに気付く。例えば、数学と物理の分野では、その歴史的背景から大きく異なる。理解できない難しい式だと思っても、実は表記方法が違っているだけの場合も多い。 意外と、このよ…

部分積分の公式

積分について、次の公式を部分積分の公式と呼ぶ。物理でも頻繁に使われる重要な公式なので、是非覚えておきたい。でも、直観的に理解しにくいので、覚えてもすぐに忘れてしまう。 上の式の右辺第2項を左辺に移せば、対称性があって覚えやすい。 心は孤独な数…

一般逆行列・ムーア・ペンローズ逆行列

連立方程式を解くために、行列の逆行列が用いられる。簡単な例としてで表されるxとyの関係を行列を使って表せば次のようになる。ここで , , とすると、最初の式はという線形代数でおなじみの式で表されるから、 両辺にの逆行列をかけてとして解が求まる。 つ…