ガウス関数の手抜き理解

統計でも物理でも画像処理でも、どこにでも出てくるガウス関数（正規分布）。

だいたい次のような形の式で表現される。

数学が嫌いだったり、数学アレルギーだったりすると、もうこれだけでダメ。

この式は、「つりがね型」と言われる、次のような曲線を作る。

ちなみに、釣鐘（つりがね）って、こんなの。

（出典：弘化の釣り鐘 文化遺産オンライン）

このガウス関数、あまり難しく考えなくても、だいたい次のような要点だけ理解しておけば、ほとんどの場合には事足りる。

結局、「ガウス関数＝つりがね型」と決まっているので、
ガウス関数の式が出てきたときに「どんな形をしているのだろう？ 」という疑問に対しては、「どれくらい平べったいか」くらいしか自由度が無い。

つまり、下の緑の数値だけ見て、ここが大きくなると平べったくなって、小さいと上に尖った形になる、ということがわかっていれば、だいたいOK。

マンガでわかる統計学

移流方程式(Advection Equation)

流体の学習で登場するのが移流方程式。

この移流方程式は、次のような1階偏微分方程式の形で示される。

これはなんだ？？

教科書では、次のような説明が見られる。

＝＝
水にインクを落とす。すると、インクは同心円状にジワーっと広がっていく。これが拡散。
もしも、インクを落としたのが流れのある川の水面であった場合、インクは川下へ流れていく。この現象が移流。
＝＝

簡単に言ってしまえば、

「移流とは流れに沿った移動」

のこと。

何の移動なのかと言えば、インク液の濃度でもいいし、温度でもいい。何でもいい。数値で表現可能な物理量のこと。

つまり、繰り返しになるけど、移流とは

「流れに沿って物理量が移動する」

という現象のことを言う。

ここまでは、全然難しい話ではない。

左から右への流れがあれば、温度やらインクの濃度やらは、流れに乗って、左から右へ移動する。これが移流。
周りに徐々に広まって、濃度が薄くなる現象は「拡散」なので、今は考えない。拡散は無いものとする。

この「移流」の現象を、方程式という形で記述したものが「移流方程式」。

どうして、こんな形をしているんだろう？？

u というのは、何かしらの物理量を表す。繰り返しになるけど、温度だってインクの濃度だって、なんだっていい。

「この物理量を時間で偏微分したもの（第一項）と、この物理量を位置（空間）で偏微分したもの（第二項）の定数倍の和がゼロになる。」

ということを言っている。

うーん。これが、どうして「流れに沿った物理量の移動」を表しているのだろうか。

天下り式に、『「物理量が一定速度で空間を移動する」という場合に、この方程式を満たすから。そういうものだと納得してくれ。』

と説明される（または何も説明が無い）ことが多いけど、なかなか納得いかない。

これ以降、この移流方程式が、なぜこのような形をしているのか説明してみる。

まず、流れの速さは一定で、値 c で表されるものとする。

物理量 u は、時間 t と位置 x によって値が決まるので、この t と x という2変数の関数として
u (x, t)
の形で表される。

この値が、速さ c で流されていくわけだから、

観測点 x, 時刻 t における物理量 u(x, t) の値は、時刻 Δt だけ後には、位置 x+cΔt の場所に現れる。

つまり、

u(x+cΔt, t+Δt) = u(x, t)

という式で表すことができる。

後の計算のために、両方の観測点の位置を -cΔt だけずらすと、次のように表せる。

Δt が十分に小さいとすると、両辺をテイラー展開して以下の式が得られる。

これはつまり、冒頭の式

と等しい。

このようにして、「物理量が一定速度で空間を移動する」という現象を式で表すと、
冒頭に記した「移流方程式」になることを示した。

たしかに、「移流方程式」は、流れに沿って物理量が移動することを表しているのだ。

初期条件（時刻 t = 0 のときの値）が与えられれば、この方程式の解（位置と時間から求まる物理量）を求めることができる。

マンガでわかる流体力学 (「マンガでわかる」シリーズ)

トコトンやさしい流体力学の本 (B&Tブックス―今日からモノ知りシリーズ)

・参考
別の説明の仕方。上記のテーラー展開の場所が理解できない場合、こちらの方がわかりやすいかも。
http://www.waka.kindai.ac.jp/tea/shibue/1stOrderAdvectionEquation.pdf

拡散方程式の導出については、こちらが詳しい。
http://www2.kobe-u.ac.jp/~iwayama/teach/kisoIII/2011/chap6.pdf

http://bio-math10.biology.kyushu-u.ac.jp/~sasaki/HP/LecNotes/travelling_wave/travelling_wave_body.htm

論文自動生成プログラムSCIgen(2)

先日のエントリ
論文自動生成プログラムSCIgen
の続き。

SCIgenという論文自動生成プログラムが2005年に開発されて以降、
このプログラムによって自動生成された論文が、査読付きの学会に複数採択されている、という内容を書いたけれど、
そのことを指摘した論文のPDFファイルが公開されていた。

Duplicate and Fake Publications in the Scientific Literature:
How many SCIgen papers in Computer Science?
http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/71/35/55/PDF/0-FakeDetectionSci-Perso.pdf

タイトルは、なんともわかりやすい。
「コンピュータサイエンスの分野で、SCIgenによって生成された論文はいくつ存在するか？」
ということで、具体的な検証方法と、その結果が示されている。

今回の調査で、IEEEの査読付き学会に採択された論文の中で、少なくとも85編の論文がSCIgenによって生成されたものであるとわかったらしい。
それらについての記述が興味深かったので紹介してみる。

・85編の論文は、24の学会に採択されていた。少なくとも24の学会がSCIgenによるニセ論文を見抜けなかった。
・89人の著者が、これらの論文に関わっていた。そのうち63人は1つの論文だけに関わっていたが、中には8編の論文に関わっていた者もいる。
・著者の所属する大学は全部で16大学であったが、そのうちの1つの大学が、全体の4分の1のニセ論文に関わっていた。

与えられた文章が、人間が作成したものか、プログラムで自動生成したものかどうかを判定するWebサービス。
http://montana.informatics.indiana.edu/cgi-bin/fsi/fsi.cgi

架空の研究者 Ike Antkare の h-index 操作に関する記述
http://paperdetection.blogspot.jp/2010/08/fake-h-index.html

架空の研究者 Ike Antkare の論文リスト
http://membres-lig.imag.fr/labbe/Publi/IkeAntkare/Ike_AntKare_index.html

オリジナルのSCIgenの別バージョンも作られていて、物理学の論文を自動生成する「SCIgen-Physics」なるものが存在する。
こちらは、より高度な数式を自動生成する（下図）

IBM 奇跡の“ワトソン”プロジェクト: 人工知能はクイズ王の夢をみる

2045年問題 コンピュータが人類を超える日 (廣済堂新書)